Question

1．已知集合M是具有下列性質的函數(shù)f（x）的全體：存在實數(shù)對（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b對定義域內任意實數(shù)x都成立
（1）判斷函數(shù)${f_1}（x）=x，{f_2}（x）={3^x}$是否屬于集合M
（2）若函數(shù)$f（x）=\frac{1-tx}{1+x}$具有反函數(shù)f^-1（x），是否存在相同的實數(shù)對（a，b），使得f（x）與f^-1（x）同時屬于集合M？若存在，求出相應的a，b，t；若不存在，說明理由．
（3）若定義域為R的函數(shù)f（x）屬于集合M，且存在滿足有序實數(shù)對（0，1）和（1，4）；當x∈[0，1]時，f（x）的值域為[1，2]，求當x∈[-2016，2016]時函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知中集合M的定義，分別判斷兩個函數(shù)是否滿足條件，可得結論；
（2）假定$f（x）=\frac{1-tx}{1+x}$∈M，求出相應的a，b，t值，得到矛盾，可得答案．
（3）利用題中的新定義，列出兩個等式恒成立；將x用2+x代替，兩等式結合得到函數(shù)值的遞推關系；用不完全歸納的方法求出值域

解答 解：（1）當f（x）=x時，f（a+x）•f（a-x）=（a+x）•（a-x）=a²-x²，
其值不為常數(shù)，
故f₁（x）=x∉M，
當f（x）=3^x時，f（a+x）•f（a-x）=3^a+x•3^a-x=3^2a，
當a=0時，b=1，
故存在實數(shù)對（0，1），使得f（0+x）•f（0-x）=1對定義域內任意實數(shù)x都成立，
故${f}_{2}（x）={3}^{x}$∈M；
（2）若函數(shù)$f（x）=\frac{1-tx}{1+x}$具有反函數(shù)f^-1（x），且$f（x）=\frac{1-tx}{1+x}$∈M，
則f（a+x）•f（a-x）=$\frac{1-t（a+x）}{1+（a+x）}$•$\frac{1-t（a-x）}{1+（a-x）}$=$\frac{（1-ta）^{2}-{t}^{2}{x}^{2}}{（1+{a）}^{2}-{x}^{2}}$=b，
則$\left\{\begin{array}{l}b={t}^{2}\\ b=-t\\ b=1\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=1\\ t=-1\end{array}\right.$，
此時f（x）=1（x≠-1），不存在反函數(shù)，
故不存在實數(shù)對（a，b），使得f（x）與f^-1（x）同時屬于集合M．
（3）函數(shù)f（x）∈M，且存在滿足條件的有序實數(shù)對（0，1）和（1，4），
于是f（x）•f（-x）=1，f（1+x）•f（1-x）=4，
用x-1f替換f（1+x）•f（1-x）=4中x得：f（x）f（2-x）=4，
當x∈[1，2]時，2-x∈[0，1]，f（x）=$\frac{4}{f（2-x）}$∈[2，4]，
∴x∈[0，2]時，f（x）∈[1，4]．
又由f（x）•f（-x）=1得：f（x）=$\frac{1}{f（-x）}$，
故$\frac{1}{f（-x）}$=$\frac{4}{f（2-x）}$，即4f（-x）=f（2-x），
即f（2+x）=4f（x）．（16分）
∴x∈[2，4]時，f（x）∈[4，16]，
x∈[4，8]時，f（x）∈[16，64]，
…
依此類推可知 x∈[2k，2k+2]時，f（x）∈[2^2k，2^2k+2]，
故x∈[2014，2016]時，f（x）∈[2²⁰¹⁴，2²⁰¹⁶]，
綜上所述，x∈[0，2016]時，f（x）∈[1，2²⁰¹⁶]，
x∈[-2016，0]時，f（x）=$\frac{1}{f（-x）}$∈[2^-2016，1]，
綜上可知當x∈[-2016，2016]時函數(shù)f（x）的值域為[2^-2016，2²⁰¹⁶]．

點評 本題考查理解題中的新定義、判斷函數(shù)是否具有特殊函數(shù)的條件、利用新定義得到恒等式、通過仿寫的方法得到函數(shù)的遞推關系、考查利用歸納的方法得結論．