Question

（2011•洛陽二模）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意的x∈R都有f（-x）=f（x），f（x-2）=-f（x）．當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2^x-1．若在區(qū)間[-2，10]上關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（　�。�

• A．（1，2）
• B．（2，+∞）
• C．（1，

  3	12

  ）
• D．（2，

  3	12

  ）

Answer 1

分析：由已知可得函數(shù)為偶函數(shù)且周期為4，另外問題可化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，作出圖象可得不等式，解之即可．

解答：解：由對(duì)任意的x∈R都有f（-x）=f（x），可得f（x）為偶函數(shù)，
而f（x-4）=f[（x-2）-2]=-f（x-2）=f（x），即函數(shù)f（x）為周期函數(shù)且周期為4，
又當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2^x-1∈[0，3]，
在區(qū)間[-2，10]上關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
等價(jià)于函數(shù)f（x）與函數(shù)y=log_a（x+2）（a＞1）有五個(gè)不同的交點(diǎn)，
在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，

由題意可得只需

loga(6+2)＜3 loga(10+2)＞3

，即

loga8＜3 loga12＞3

，故8＜a³＜12，
解得2＜a＜

3	12

．
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查方程根的個(gè)數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，用數(shù)形結(jié)合的方式解決問題是關(guān)鍵，屬中檔題．