【題目】已知函數(shù) .
(1)討論函數(shù)在
上的單調(diào)性;
(2)若,當
時,
,且
有唯一零點,證明:
.
【答案】(1)見解析;(2)證明見解析
【解析】
(1)求導(dǎo)后得,再對
分四種情況討論可得函數(shù)的單調(diào)性;
(2)令=0,可知
在
上有唯一零點
,所以
①, 要使
在
上恒成立,且
有唯一解,只需
,即
②,再聯(lián)立①②可知,
,然后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得.
(1)依題意,
若,則
,
故函數(shù)在
上單調(diào)遞增;
若,令
,解得
;
若,則
,則
,
函數(shù)在
上單調(diào)遞增;
若,則
,則
,
則函數(shù)在
上單調(diào)遞減;
若,則
,則函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減;
綜上所述,時,函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,
時,函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,
時,函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減;
(2)依題意,,而
,
令,解得
,
因為,故
,
故在
上有唯一零點
;
又,
故 ①,
要使在
上恒成立,且
有唯一解,
只需,即
②,
由①②可知,
令
顯然在
上單調(diào)遞減,
因為,
故,
又在
上單調(diào)遞增,
故必有
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知不等式.
(1)是否存在實數(shù)m,使不等式對任意恒成立?并說明理由.
(2)若不等式對任意恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
(3)若對于,不等式恒成立,求實數(shù)x的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,底面為邊長為
的正三角形,
在底面的射影為
中點且
到底面的距離為
,已知
分別是線段
與
上的動點,記線段
中點
的軌跡為
,則
等于( )(注:
表示
的測度,本題中
若分別為曲線、平面圖形、空間幾何體,分別對應(yīng)為其長度、面積、體積)
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù)的定義域為D,若存在閉區(qū)間
,使得函數(shù)
滿足以下兩個條件:(1)
在[m,n]上是單調(diào)函數(shù);(2)
在[m,n]上的值域為[2m,2n],則稱區(qū)間[m,n]為
的“倍值區(qū)間”.下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有( )個.
①②
③
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在銳角△ABC中,∠BAC≠60°,過點B、C分別作△ABC外接圓的切線BD、CE,且滿足,直線DE與AB、AC的延長線分別交于點F、G、CF與BD交于點M,CE與BG交于點N.證明:
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2018年1月8日,中共中央國務(wù)院隆重舉行國家科學技術(shù)獎勵大會,在科技界引發(fā)熱烈反響,自主創(chuàng)新正成為引領(lǐng)經(jīng)濟社會發(fā)展的強勁動力.某科研單位在研發(fā)新產(chǎn)品的過程中發(fā)現(xiàn)了一種新材料,由大數(shù)據(jù)測得該產(chǎn)品的性能指標值y與這種新材料的含量x(單位:克)的關(guān)系為:當時,y是x的二次函數(shù);當
時,
測得數(shù)據(jù)如下表(部分):
x(單位:克) | 0 | 1 | 2 | 9 | … |
y | 0 | 3 | … |
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當該產(chǎn)品中的新材料含量x為何值時,產(chǎn)品的性能指標值最大.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知(e為自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828……),函數(shù)
圖象關(guān)于直線
對稱,函數(shù)
的最小值為m.
(I)求曲線的切線方程;
(Ⅱ)求證:;
(III)求函數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,AC=BC=PC=2,AB=PA=PB=2.
(1)證明:PC⊥平面ABC;
(2)若點D在棱AC上,且二面角D-PB-C為30°,求PD與平面PAB所成角的正弦值。
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