Question

如圖：直線(xiàn)y=x與拋物線(xiàn)y=x²-4交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l與直線(xiàn)y=x和y=-5分別交于M、Q，且=0，=。

（1）求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P為拋物線(xiàn)上且位于線(xiàn)段AB下方（含點(diǎn)A、B）的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，求△OPQ面積的最大值。

Answer 1

解：（1）聯(lián)立
解得或
即A（-4，-2），B（8，4）
∵
∴QM⊥AB
又
∴M是AB的中點(diǎn)，即M（2，1）
∴l(xiāng)是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)
又k_AB=
∴l(xiāng)的方程為y-1=-2（x-2），
即2x+y-5=0，令y=-5，得x=5，
∴Q=（5，-5）。
（2）直線(xiàn)OQ的方程為：x+y=0
由題意可設(shè)P，-4≤x≤8，且O、P、Q不共線(xiàn)
則點(diǎn)P到直線(xiàn)OQ的距離為：

又
∴
其中x∈[-4，8]，且O、P、Q不共線(xiàn)，
令f（x）=（x+4）²-48，
則當(dāng)x∈[-4，8]時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增
又當(dāng)x=-4時(shí)，|x²+8x-32|=48，
當(dāng)x=8時(shí)，|x²+8x-32|=96
∴當(dāng)x=8時(shí)，（S_△QPO）_max=×96=30。