Question

（本題滿分12分）提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般  情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)

 橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20

 輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時，車流速度v是車流密度 x的一次函數(shù)．

(1)當(dāng)0≤x≤200時，求函數(shù)v (x)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時)f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時)

 

Answer 1

【答案】

 (1)；

(2)當(dāng)x＝100時，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3333.

即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時．

                                                            

【解析】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用、最值等基礎(chǔ)知識，同時考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，屬于中等題．

（1）根據(jù)題意，函數(shù)v（x）表達(dá)式為分段函數(shù)的形式，關(guān)鍵在于求函數(shù)v（x）在20≤x≤200時的表達(dá)式，根據(jù)一次函數(shù)表達(dá)式的形式，用待定系數(shù)法可求得；

（2）先在0≤x≤20上，車流量函數(shù)為增函數(shù)，得最大值為v（20）=1200，然后在20≤x≤200上，車流量函數(shù)為二次函數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)的最大值問題解答。

解：(1)由題意：當(dāng)0≤x≤20時，v(x)＝60；當(dāng)20≤x≤200時，設(shè)v(x)＝ax＋b.

再由已知得解得………………………………4分

故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為

……………………………………………………6分

(2)依題意并由(1)可得

………………………………………8分

當(dāng)0≤x≤20時，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x＝20時，其最大值為60×20＝1200；……9分

當(dāng)20≤x≤200時，f(x)＝x(200－x)≤＝. ……………10分

當(dāng)且僅當(dāng)x＝200－x，即x＝100時，等號成立．

所以，當(dāng)x＝100時，f(x)在區(qū)間[20,200]上取得最大值.……………11分

綜上，當(dāng)x＝100時，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3333.

即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時．

                                                              ………12分