Question

集合A是由適合以下性質的函數(shù)f（x）構成的：對于任意的，且u、υ∈（-1，1），都有|f（u）-f（υ）|≤3|u-υ|．
（1）判斷函數(shù)f1(x)=

1+x2

是否在集合A中？并說明理由；
（2）設函數(shù)f（x）=ax²+bx，且f（x）∈A，試求2a+b的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若f（2）=6，且對于滿足（2）的每個實數(shù)a，存在最小的實數(shù)m，使得當x∈[m，2]時，|f（x）|≤6恒成立，試求用a表示m的表達式．

Answer 1

分析：（1）先取u、υ∈（-1，1）時，檢驗|f₁（u）-f₁（υ）|≤3|u-υ|是否成立，根據(jù)已知給出判斷即可
（2）由f（x）∈A可得，|u-υ|≥|f（u）-f（υ）|=|（u-υ）（au+aυ+b）|，即|au+aυ+b|≤3 成立，設t=u+υ，結合u，υ∈（-1，1）可得t的范圍，可求
（3）由f（2）=6可得，2a+b=3由（2）中2a+b的范圍，可求a的范圍，而當x∈[m，2]時，結合二次函數(shù)的性質可求x∈R時f（x）_min，通過與函數(shù)的最小值與端點6，與-6的大小可的m與方程的根的關系，從而可求a與m之間的關系

解答：解：（1）f₁（x）∈A，任取u、υ∈（-1，1），且u≠υ，
則|f1(u)-f1(υ)|=|

1+u2

-

1+υ2

|=

|u2-υ2|

| 1+u2 + 1+υ2 |

=

|u+υ|×|u-υ|

| 1+u2 + 1+υ2 |

因為|u|＜

1+u2

，|υ|＜

1+υ2

，且|u+υ|≤|u|+|υ|
所以

|u+υ|

| 1+u2 + 1+υ2 |

＜1
所以|f₁（u）-f₁（υ）|＜|u-υ|＜3|u-υ|，亦即f₁（x）∈A
（2）因為f（x）=ax²+bx屬于集合A，所以，任取u、υ∈（-1，1）且u≠υ，
則3|u-υ|≥|f（u）-f（υ）|=|（u-υ）（au+aυ+b）|，
也即|au+aυ+b|≤3  ①
設t=u+υ，則上式化為|at+b|≤3②
因為u，υ∈（-1，1），所以-2＜t＜2
①式對任意的u，υ∈（-1，1）恒成立，即②式對t∈（-2，2）恒成立可以證明|2a|+|b|≤3，所以|2a+b|≤3，
即2a+b∈[-3，3]
（3）由f（2）=6可知2a+b=3
又由（2）可知-3≤2a+b≤3，所以0≤a≤

3

2

，
當a=0時，b=3，f（x）=3x在[m，2]上為單調遞增函數(shù)，f（m）=3m，f（2）=4
令3m=-6，可得m=-2
當a＞0時，f(x)=ax2+(3-2a)x=a(x+

3-2a

2a

)2-

(3-2a)2

4a

．
此時，-

3-2a

2a

=1-

3

2a

≤0，且當x∈R時f（x）的最小值為f(-

3-2a

2a

)=-

(3-2a)2

4a

若-

(3-2a)2

4a

≥-6，即

9-6 2

2

≤a≤

3

2

時，m為方程f（x）=6的較小根，所以m=-

3

a

若-

(3-2a)2

4a

＜-6，即0＜a＜

9-6 2

2

時，由于f（x）在[-

3-2a

2a

，+∞)上單調遞增，
所以m為方程f（x）=-6的較大根，所以m=

2a-3+ 4a2-36a+9

2a

，
綜上可知，m=

-2(a=0) 2a-3+ 4a2-36a+9 2a (0＜a＜ 9-6 2 2 ) - 3 a ( 9-6 2 2 ≤a≤ 3 2 )

點評：本題以集合的關系為載體主要考查了函數(shù)的單調性于函數(shù)的值域的求解，而函數(shù)的恒成立的問題的解決常轉化為求解函數(shù)的最值．