Question

關(guān)于x的不等式x²-4mx+4≥0對任意x∈[1，+∞）恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：將不等式轉(zhuǎn)化為x²+4≥4mx，即m≤

x2+4

4x

=

x

4

+

1

x

在∈[1，+∞）恒成立，利用基本不等式進(jìn)行求解即可．

解答：解：要使不等式x²-4mx+4≥0對任意x∈[1，+∞）恒成立，
即x²+4≥4mx，
∴m≤

x2+4

4x

=

x

4

+

1

x

在∈[1，+∞）恒成立，
∵

x

4

+

1

x

≥2

x 4 • 1 x

=2•

1 4

=2×

1

2

=1，
當(dāng)且僅當(dāng)

x

4

=

1

x

，即x²=4，x=2時取等號．
∴m≤1．
即實數(shù)m的取值范圍為（-∞，1]．
故答案為：（-∞，1]．

點評：本題主要考查不等式恒成立問題，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用基本不等式的性質(zhì)求解最小值是解決本題的關(guān)鍵．