Question

16．求f（x）=$\frac{1+sinx-2si{n}^{2}（\frac{π}{4}-\frac{x}{2}）}{4sin\frac{x}{2}}$+$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$的最大值及取最大值時相應的x的集合．

Answer 1

分析 由條件利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的最值條件求得f（x）的最大值及取最大值時相應的x的集合．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1+sinx-2si{n}^{2}（\frac{π}{4}-\frac{x}{2}）}{4sin\frac{x}{2}}$+$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$=$\frac{sinx+cos（\frac{π}{2}-x）}{4sin\frac{x}{2}}$+$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$=$\frac{2sinx}{4sin\frac{x}{2}}$+$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$
=cos$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$=2（$\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$）=2sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{x}{2}$），
故函數(shù)f（x）的最大值為2，此時，$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即 x=4kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z．
即函數(shù)f（x）的最大值為2時，相應的x的集合為{x|x=4kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z}．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的最值，屬于中檔題．