Question

已知方程x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0表示一個(gè)圓．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）求該圓半徑r的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由方程x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0
變形得：[x-（m+3）]²+[y+（1-4m²）]²=-7m²+6m+1，
當(dāng)且僅當(dāng)-7m²+6m+1＞0，即7m²-6m-1＜0時(shí)方程表示圓；
所以＜m＜1時(shí)，該方程表示一個(gè)圓；
（2）在＜m＜1時(shí)，設(shè)r²=-7m²+6m+1，為開口向下的拋物線，
r²=-7m²+6m+1=
∴
∴
分析：（1）將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，要得到方程為圓，則方程的右邊大于0，可得不等式，解之可得到m的范圍．
（2）可設(shè)r²=-7m²+6m+1，在（1）求出的m的范圍中，利用二次函數(shù)求最值的方法，可確定函數(shù)的值域．
點(diǎn)評：本題以二元二次方程為載體，考查方程表示圓的條件，考查配方法求二次函數(shù)的最值，正確配方是關(guān)鍵．