正△ABC的邊長為4,CD是AB邊上的高,E,F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點,現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A—DC—B。
(I)試判斷直線AB與平面DEF的位置關系,并說明理由;
(II)求二面角E—DF—C的余弦值;
(III)在線段BC上是否存在一點P,使AP⊥DE?證明你的結論。
解法一:(Ⅰ)如圖:在中,由
分別是
和
邊的中點,得
,
又平面
,
平面
.
∴
平面
. …………4分
(Ⅱ), ∴
是二面角
的平面角,
,得
平面
.
取的中點
,連接
,則
, ∴
平面
,過
作
于點
,連接
,則根據(jù)三垂線定理知
,∴
就是二面角
的平面角.
在中,
,
,∴
,
.………8分
(Ⅲ)在線段上存在點
,使
,證明如下:
在線段上取點
,使
,過
作
與點
,連
,則
平面
,
,于是有
,在
中,
,
;又∵
是正三角形,∴
,∴
.………13分
法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)以點為坐標原點,直線
分別為
軸,建立空間直角坐標系,則
,
,
,
,
.
顯然平面的一個法向量為
,設平面
的一個法向量為
,則
,即
,令
得,
.
,所以二面角
的余弦值為
.
(Ⅲ)設,由
,得
. 又
,
,
,
;將
代入上式,得
,
,所以在線段
上存在點
,使
.
【解析】略
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
BP | BC |
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科目:高中數(shù)學 來源:2011年福建師大附中高二第一學期期末數(shù)學理卷 題型:解答題
(本小題12分)
正△ABC的邊長為4,CD是AB邊上的高,E、F分別是AC和BC邊的中點,現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A—DC—B.
(Ⅰ)試判斷直線AB與平面DEF的位置關系,并說明理由;
(Ⅱ)求直線BC與平面DEF所成角的余弦值;
(Ⅲ)在線段BC上是否存在一點P,使AP⊥DE?證明你的結論.
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