Question

已知平面上一定點(diǎn)C（-1，0）和一直線l：x=-4，P（x，y）為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線與點(diǎn)P的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)P（x，y），則由已知得Q（-4，y），又C（-1，0），
∴=（-4-x，0），=（-1-x，-y），
∵．
∴（-6-3x，-2y）•（-2+x，2y）=0，
故．
（2）設(shè)過點(diǎn)C的直線斜率存在時(shí)的方程為y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則由?（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
∴，
，
令
=
∵k²≥0，
∴
∴
當(dāng)過點(diǎn)C的直線斜率不存在時(shí)，其方程為x=-1，解得
此時(shí)，
所以的范圍是
分析：（1）設(shè)P（x，y），由題意可得Q（-4，y），又C（-1，0），結(jié)合即可求得點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)C的直線斜率存在時(shí)的方程為y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由可得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，利用韋達(dá)定理，可化為：，從而可求其取值范圍；當(dāng)過點(diǎn)C的直線斜率不存在時(shí)可解得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)從而可補(bǔ)充前者所求的的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查向量在幾何中的應(yīng)用，突出方程思想，轉(zhuǎn)化思想的考查與運(yùn)用，屬于難題．