已知ABCD是平行四邊形,P點(diǎn)是ABCD所在平面外的一點(diǎn),連接PA、PB、PC、PD.設(shè)點(diǎn)E、F、G、H分別為△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心.

(1)試用向量方法證明E、F、G、H四點(diǎn)共面;

(2)試判斷平面EFGH與平面ABCD的位置關(guān)系,并用向量方法證明你的判斷.

(1)證明略(2) 平面EFGH∥平面ABCD


解析:

(1)  分別延長PE、PF、PG、PH交對邊于M、N、Q、R點(diǎn),因?yàn)镋、F、G、H分別是所在三角形的重心,所以M、N、Q、R為所在邊的中點(diǎn),順次連接M、N、Q、R得到的四邊形為平行四邊形,且有=,

==, =

=+

=(-)+(-

=-)+-

=+

又∵=-=-=

=+),∴=+

由共面向量定理知:E、F、G、H四點(diǎn)共面.

(2)  由(1)得=,故.

又∵平面ABC,EG平面ABC.

∴EG∥平面ABC.

又∵=-=-=

∴MN∥EF,又∵M(jìn)N平面ABC,EF平面ABC,

EF∥平面ABC.

∵EG與EF交于E點(diǎn),

∴平面EFGH∥平面ABCD.

練習(xí)冊系列答案
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9、如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)P是平面ABCD外的一點(diǎn),則在四棱錐P-ABCD中,M是PC的中點(diǎn),在DM上取一點(diǎn)G,過G和AP作平面交平面BDM于GH.
求證:AP∥GH.

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如圖,在三棱柱BCD-B1C1D1與四棱錐A-BB1D1D的組合體中,已知BB1⊥平面BCD,四邊形ABCD是平行四邊形,∠ABC=120°,AB=2,AD=4,BB1=1.
設(shè)O是線段BD的中點(diǎn).
(1)求證:C1O∥平面AB1D1;
(2)證明:平面AB1D1⊥平面ADD1

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(2013•杭州二模)如圖,已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,PA⊥平面ABCD,PA=
3
,AB=1.AD=2.∠BAD=120°,E,F(xiàn),G,H分別是BC,PB,PC,AD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:PH∥平面GED;
(Ⅱ)過點(diǎn)F作平面α,使ED∥平面α,當(dāng)平面α⊥平面EDG時(shí),設(shè)PA與平面α交于點(diǎn)Q,求PQ的長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐V-ABCD,底面ABCD是平行四邊形,點(diǎn)V在平面ABCD上的射影E在AD邊上,且AE=
1
3
ED
,VE=4,BE=EC=2,∠BEC=90°.
(Ⅰ)設(shè)F是BC的中點(diǎn),求異面直線EF與VC所成角的余弦值;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P在棱VC上,且DP⊥EC.求
VP
PC
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:設(shè)計(jì)必修四數(shù)學(xué)北師版 北師版 題型:013

已知M是平行四邊形ABCD對角線的交點(diǎn),下列四式中不能化簡為的是

[  ]

A.

B.

C.

D.

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