Question

設a＞1，若僅有一個常數c使得對于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a²]滿足方程log_ax+log_ay=c，這時，a的取值的集合為

 

．

Answer 1

分析：由log_ax+log_ay=c可以用x表達出y，轉化為函數的值域問題求解．

解答：解：∵log_ax+log_ay=c，
∴

log

xy a

=c
∴xy=a^c
得y=

ac

x

，單調遞減，所以當x∈[a，2a]時，y∈[

ac-1

2

，ac-1]
所以

ac-1 2 ≥a ac-1≤a2

?

c≥2+loga2 c≤3

，因為有且只有一個常數c符合題意，所以2+log_a2=3，解得a=2，所以a的取值的集合為{2}．
故答案為：{2}

點評：本題考查函數與方程思想，需要有較強的轉化問題的能力．