Question

13．關(guān)于x的不等式x²-ax-a²+1＜0的解集為A，若集合A中恰有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|-$\frac{\sqrt{65}}{5}$≤a＜-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，或$\frac{2\sqrt{10}}{5}$＜a≤$\frac{\sqrt{65}}{5}$}．

Answer 1

分析 求出不等式x²-ax-a²+1＜0的解集A，利用A中恰有兩個(gè)整數(shù)，得出關(guān)于a的不等式，求出a的取值范圍即可．

解答 解：∵不等式x²-ax-a²+1＜0，
∴判別式△=（-a）²-4（-a²+1）=a²+4a²-4=5a²-4＞0，
解得a＜-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，或a＞$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
∴不等式x²-ax-a²+1＜0的解集為
A={x|$\frac{a-\sqrt{{5a}^{2}-4}}{2}$＜x＜$\frac{a+\sqrt{{5a}^{2}-4}}{2}$}，
又∵A中恰有兩個(gè)整數(shù)，不妨設(shè)A=（m，n），則有2＜n-m≤3，
即2＜$\frac{a+\sqrt{{5a}^{2}-4}}{2}$-$\frac{a-\sqrt{{5a}^{2}-4}}{2}$≤3，
∴4＜5a²-4≤9，
解得-$\frac{\sqrt{65}}{5}$≤a＜-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，或$\frac{2\sqrt{10}}{5}$＜a≤$\frac{\sqrt{65}}{5}$；
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|-$\frac{\sqrt{65}}{5}$≤a＜-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，或$\frac{2\sqrt{10}}{5}$＜a≤$\frac{\sqrt{65}}{5}$}．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．