Question

設(shè)無(wú)窮數(shù)列{a_n}滿足：?n∈N^*，a_n＜a_n+1，．記．
（1）若，求證：a₁=2，并求c₁的值；
（2）若{c_n}是公差為1的等差數(shù)列，問(wèn){a_n}是否為等差數(shù)列，證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知條件排除a₁=1、a₁≥3即可證得a₁=2，，通過(guò)計(jì)算可得a₂=3，故=b₂，代入數(shù)值可求得；
（2）由a_n+1＞a_n⇒n≥2時(shí)，a_n＞a_n-1，由此可推得a_n≥a_m+（n-m）（m＜n），從而，即c_n+1-c_n≥a_n+1-a_n，又{c_n}是公差為1的等差數(shù)列，所以1≥a_n+1-a_n，又a_n+1-a_n≥1，故a_n+1-a_n=1，由此可判斷{a_n}是否為等差數(shù)列；
解答：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124443628310399/SYS201310251244436283103019_DA/3.png">，所以若a₁=1，則矛盾，
若，可得1≥a₁≥3矛盾，所以a₁=2． 
于是，
從而． 
（2）{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，證明如下：
a_n+1＞a_n⇒n≥2時(shí)，a_n＞a_n-1，
所以a_n≥a_n-1+1⇒a_n≥a_m+（n-m），（m＜n），即c_n+1-c_n≥a_n+1-a_n，
由題設(shè)，1≥a_n+1-a_n，又a_n+1-a_n≥1，
所以a_n+1-a_n=1，即{a_n}是等差數(shù)列．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的判定及通項(xiàng)公式，考查學(xué)生的邏輯推理能力，難度較大．