Question

3．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且對(duì)任意x∈R都有f$′（x）＜\frac{1}{2}$，則不等式f（x³）$＞\frac{{x}^{3}+1}{2}$的解集為（-∞，1）．

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=f（x）-$\frac{{x}^{3}+1}{2}$，求出g（1），求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，確定其單調(diào)性，由單調(diào)性列式求解

解答 解：定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且對(duì)任意x∈R都有f$′（x）＜\frac{1}{2}$，
∴f′（x）-$\frac{1}{2}$＜0，設(shè)h（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，則h′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$＜0，
∴h（x）是R上的減函數(shù)，且h（1）=f（1）-$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
故不等式f（x³）$＞\frac{{x}^{3}+1}{2}$，即 f（x³）-$\frac{{x}^{3}}{2}$＞$\frac{1}{2}$，即 h（x³）＞h（1），即 x³＜1，
解得-∞＜x＜1，∴原不等式的解集為（-∞，1），
故答案為：（-∞，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)構(gòu)造法，解答的關(guān)鍵是正確構(gòu)造出輔助函數(shù)，屬于中檔題．