（2012•黃山模擬）已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x)，g(x)=
x2
1+x
．
（Ⅰ）分別求函數(shù)f（x）和g（x）的圖象在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）證明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x
；
（Ⅲ）對一個實數(shù)集合M，若存在實數(shù)s，使得M中任何數(shù)都不超過s，則稱s是M的一個上界．已知e是無窮數(shù)列an=(1+
1
n
)n+a所有項組成的集合的上界（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)a的最大值．
分析：（Ⅰ）f′(x)=
2ln(1+x)
1+x
，g′(x)=
x2+2x
(1+x)2
，則f'（0）=0，g'（0）=0，且f（0）=0，g（0）=0，由此能求出函數(shù)f（x）和g（x）的圖象在x=0處的切線方程．
（Ⅱ）令函數(shù)h(x)=ln2(1+x)-
x2
1+x
，定義域是（-1，+∞），h′(x)=
2ln(1+x)
1+x
-
x2+2x
(1+x)2
=
2(1+x)ln(1+x)-x2-2x
(1+x)2
，設(shè)u（x）=2（1+x）ln（1+x）-x2-2x，則u'（x）=2ln（1+x）-2x，令v（x）=2ln（1+x）-2x，則v′(x)=
2
1+x
-2=
-2x
1+x
，由此能夠證明ln2(1+x)≤
x2
1+x
．（Ⅲ）由題意可知不等式 (1+
1
n
)n+a≤e對任意的n∈N*都成立，且不等式(1+
1
n
)n+a≤e等價于不等式(n+a)ln(1+
1
n
)≤1，由此能求出a的最大值．
解答：解：（Ⅰ）f′(x)=
2ln(1+x)
1+x
，g′(x)=
x2+2x
(1+x)2
，
則f'（0）=0，g'（0）=0，且f（0）=0，g（0）=0，
所以函數(shù)f（x）和g（x）的圖象在x=0處的切線方程都是y=0…（3分）
（Ⅱ）令函數(shù)h(x)=ln2(1+x)-
x2
1+x
，定義域是（-1，+∞），h′(x)=
2ln(1+x)
1+x
-
x2+2x
(1+x)2
=
2(1+x)ln(1+x)-x2-2x
(1+x)2
，
設(shè)u（x）=2（1+x）ln（1+x）-x2-2x，
則u'（x）=2ln（1+x）-2x，
令v（x）=2ln（1+x）-2x，則v′(x)=
2
1+x
-2=
-2x
1+x
，
當(dāng)-1＜x＜0時，v'（x）＞0，v（x）在（-1，0）上為增函數(shù)，
當(dāng)x＞0時，v'（x）＜0，v（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．
所以v（x）在x=0處取得極大值，且就是最大值，而v（0）=0，
所以u'（x）≤0，函數(shù)u（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)…（5分）
于是當(dāng)-1＜x＜0時，u（x）＞u（0）=0，當(dāng)x＞0時，u（x）＜u（0）=0，
所以，當(dāng)-1＜x＜0時，h'（x）＞0，h（x）在（-1，0）上為增函數(shù)．
當(dāng)x＞0時，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．
故h（x）在x=0處取得極大值，且就是最大值，而h（0）=0，
所以h（x）≤0，
即ln2(1+x)-
x2
1+x
≤0，ln2(1+x)≤
x2
1+x
…（8分）
（Ⅲ）由題意可知不等式 (1+
1
n
)n+a≤e對任意的n∈N*都成立，
且不等式(1+
1
n
)n+a≤e等價于不等式(n+a)ln(1+
1
n
)≤1，
由1+
1
n
＞1知，a≤
1
ln(1+
1
n
)
-n，設(shè)F(x)=
1
ln(1+x)
-
1
x
，x∈(0，1]，
則F′(x)=-
1
(1+x)ln2(1+x)
+
1
x2
=
(1+x)ln2(1+x)-x2
x2(1+x)ln2(1+x)
…（10分）
由（Ⅱ）知，ln2(1+x)≤
x2
1+x
，
即（1+x）ln2（1+x）-x2≤0，
所以F'（x）＜0，x∈（0，1]，
于是F（x）在（0，1]上為減函數(shù)．
故函數(shù)F（x）在（0，1]上的最小值為F(1)=
1
ln2
-1，
所以a的最大值為
1
ln2
-1…（13分）
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，考查不等式的證明，考查實數(shù)的最大值的求法．考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識．
練習(xí)冊系列答案
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（2012•黃山模擬）函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若對于定義域內(nèi)任意x1、x2（x1≠x2），有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
=f′(
x1+x2
2
)恒成立，則稱f（x）為恒均變函數(shù)．給出下列函數(shù)：
①f（x）=2x+3；
②f（x）=x2-2x+3；
③f（x）=
1
x
；
④f（x）=ex；
⑤f（x）=lnx．
其中為恒均變函數(shù)的序號是
①②
①②
．（寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號）

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（2012•黃山模擬）等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且9a1，3a2，a3成等比數(shù)列．若a1=3，則S4=（　　）

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（2012•黃山模擬）已知向量
a
=(1，cos
x
2
）與
b
=（
3
sin
x
2
+cos
x
2
，y）共線，且有函數(shù)y=f（x）．
（Ⅰ）若f（x）=1，求cos(
2π
3
-2x)的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C，的對邊分別是a，b，c，且滿足2acosC+c=2b，求函數(shù)f（B）的取值范圍．

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（2012•黃山模擬）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=3，an+1=4an-3an-1(n∈N*且n≥2)．
（Ⅰ）證明數(shù)列{an+1-an}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且對一切n∈N*，都有
b1
a1
+
b2
2a2
+…+
bn
nan
=2n+1成立，求Sn．

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（2012•黃山模擬）用兩點等分單位圓時，有相應(yīng)正確關(guān)系為sinα+sin（π+α）=0；三點等分單位圓時，有相應(yīng)正確關(guān)系為sinα+sin(α+
2π
3
)+sin(α+
4π
3
)=0，由此可以推知：四點等分單位圓時的相應(yīng)正確關(guān)系為
sinα+sin(α+
π
2
)+sin(α+π)+sin(α+
3π
2
)=0
sinα+sin(α+
π
2
)+sin(α+π)+sin(α+
3π
2
)=0
．

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