Question

過拋物線y²=4ax（a＞0）的焦點(diǎn)F，作相互垂直的兩條焦點(diǎn)弦AB和CD，求|AB|+|CD|的最小值．

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線AB方程為y=k（x-a），則CD方程可得，分別代入拋物線方程，根據(jù)拋物線定義可知|AB|=x_A+x_B+p，|CD|=x_C+x_D+p進(jìn)而可求得|AB|+|CD|的表達(dá)式，根據(jù)均值不等式求得|AB|+|CD|的最小值為16a．

解答：解：拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（a，0），設(shè)直線AB方程為y=k（x-a），
則CD方程為y=-

1

k

(x-a)，
分別代入y²=4x得：k²x²-（2ak²+4a）x+k²a²=0及

1

k2

x2-(2a

1

k2

+4a)x+

a2

k2

=0，
∵|AB|=xA+xB+p=2a+

2a

k2

+2a，|CD|=x_C+x_D+p=2a+4ak²+2a，
∴|AB|+|CD|=8a+

4a

k2

+4ak2≥16a，當(dāng)且僅當(dāng)k²=1時(shí)取等號(hào)，
所以，|AB|+|CD|的最小值為16a．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．涉及了直線與拋物線的關(guān)系及拋物線的定義．