Question

【題目】已知圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4． （Ⅰ） 若直線l過點A（2，3）且被圓C截得的弦長為2 ，求直線l的方程；
（Ⅱ） 若直線l過點B（1，0）與圓C相交于P，Q兩點，求△CPQ的面積的最大值，并求此時直線l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）圓C的圓心坐標(biāo)為C（3，4），半徑R=2， ∵直線l被圓E截得的弦長為2 ，∴圓心C到直線l的距離d=1
①當(dāng)直線l的斜率不存在時，l：x=2，顯然滿足d=1；
②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l：y﹣3=k（x﹣2），即kx﹣y+3﹣2k=0，
由圓心C到直線l的距離d=1得： ，解得k=0，故l：y=3；
綜上所述，直線l的方程為x=2或y=3
（Ⅱ）法一：∵直線與圓相交，∴l(xiāng)的斜率一定存在且不為0，設(shè)直線l方程：y=k（x﹣1），
即kx﹣y﹣k=0，則圓心C到直線l的距離為d= ，
又∵△CPQ的面積S= =d = =
∴當(dāng) 時，S取最大值2．由d= = ，得k=1或k=7，
∴直線l的方程為x﹣y﹣1=0或7x﹣y﹣7=0．
法二：設(shè)圓心C到直線l的距離為d，
則 （取等號時 ）
以下同法一．
法三：
取“=”時∠PCQ=90°，△CPQ為等腰直角三角形，則圓心C到直線l的距離 ，
以下同法一．
【解析】（Ⅰ）求出圓C的圓心坐標(biāo)為C（3，4），半徑R=2，推出圓心C到直線l的距離d=1，（1）當(dāng)直線l的斜率不存在時，l：x=2，判斷是否滿足題意（2）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l：y﹣3=k（x﹣2），利用點到直線的距離公式求解即可．（Ⅱ）法一：設(shè)直線l方程：y=k（x﹣1），利用點到直線的距離公式以及三角形面積公式，通過二次函數(shù)的最值求解即可． 法二：設(shè)圓心C到直線l的距離為d，表示三角形的面積，利用基本不等式求解即可．法三：S△CPQ= RRsin∠PCQ，利用三角函數(shù)的最值求解，圓心C到直線l的距離 ，然后轉(zhuǎn)化求解即可．