Question

3．設(shè)a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=log_a$\frac{x-3}{x+3}$，g（x）=1+log_a（x-1），兩函數(shù)的定義域分別為集合A、B，若將A∩B記作區(qū)間D．
（1）試求函數(shù)f（x）在D上的單調(diào)性；
（2）若[m，n]⊆D，函數(shù)f（x）在[m，n]上的值域恰好為[g（n），g（m）]，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）變形得出f（x）=log_a（1$-\frac{6}{x+3}$），據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可以判斷．
（2）函數(shù)f（x）在[m，n]上的值域恰好為[g（n），g（m）]，
g（x）單調(diào)遞減函數(shù)．得出0＜a＜1，再利用函數(shù)性質(zhì)得出1$-\frac{6}{x+3}$=a（x-1）有2個根，分離參數(shù)利用基本不等式求解即可．

解答 解：（1）∵設(shè)a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=log_a$\frac{x-3}{x+3}$，
g（x）=1+log_a（x-1），
∴$\frac{x-3}{x+3}$＞0即x＞3或x＜-3
x-1＞0，x＞1
∴A={x|x＞3或x＜-3}
B+{x|x＞1}
∴D=（3，+∞）
∵函數(shù)f（x）=log_a$\frac{x-3}{x+3}$，
∴f（x）=log_a（1$-\frac{6}{x+3}$），
∵u（x）=1$-\frac{6}{x+3}$在（3，+∞）上單調(diào)遞增
∴據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得出：
當a＞1時，f（x）=log_a（1$-\frac{6}{x+3}$）為增函數(shù)；
當0＜a＜1時，f（x）=log_a（1$-\frac{6}{x+3}$）為減函數(shù)；
（2）∵函數(shù)f（x）在[m，n]上的值域恰好為[g（n），g（m）]，
∴g（x）單調(diào)遞減函數(shù)，
∴0＜a＜1，
∴當0＜a＜1時，f（x）=log_a（1$-\frac{6}{x+3}$）為減函數(shù)
∴1$-\frac{6}{x+3}$=a（x-1）有2個根，
即$\frac{1}{a}$=（x-3）$+\frac{12}{x-3}$+8，x＞3
根據(jù)不等式得出：（x-3）$+\frac{12}{x-3}$+8≥4$\sqrt{3}$+8
$\frac{1}{a}$≥4$\sqrt{3}$+8，
∴0＜a≤$\frac{1}{4\sqrt{3}+8}$

點評 本題考察了函數(shù)的性質(zhì)，不等式，構(gòu)造思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．