Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在（0，1），此時圓上一點(diǎn)P的位置在（0，0），圓在x軸上沿正向滾動．當(dāng)圓滾動到圓心位于（1，1）時，

OP

的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：設(shè)滾動后的圓的圓心為C并設(shè)∠BCP=θ，求出⊙C的方程和參數(shù)方程，由題意求出角θ，再由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，化簡可得P為（2-sin2，1-cos2），即可求出

OP

的坐標(biāo)．

解答： 解：設(shè)滾動后的圓的圓心為C，切點(diǎn)為A（2，0），連接CP
過C作與x軸正方向平行的射線，交圓C于B（2，1），設(shè)∠BCP=θ
∵⊙C的方程為（x-1）²+（y-1）²=1，
∴根據(jù)圓的參數(shù)方程，得P的坐標(biāo)為（1+cosθ，1+sinθ），
∵單位圓的圓心的初始位置在（0，1），圓滾動到圓心位于（1，1）
∴∠ACP=1，可得θ=

3π

2

+1，
可得cosθ=cos（

3π

2

-1）=-sin1，sinθ=sin（

3π

2

-1）=-cos2，
代入上面所得的式子，得到P的坐標(biāo)為（1-sin2，1-cos2），
所以

OP

的坐標(biāo)是（1-sin1，1-cos1），
故答案為：（1-sin1，1-cos1）．

點(diǎn)評：本題根據(jù)半徑為1的圓的滾動，求一個向量的坐標(biāo)，考查了圓的參數(shù)方程和平面向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用等知識點(diǎn)，屬于中檔題．