已知焦點(diǎn)在x軸的橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓短半軸長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)  在直線（為長(zhǎng)半軸，為半焦距）上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求以OM為直徑且被直線截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程；

（3）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值

 

【答案】

（1）又由點(diǎn)M在準(zhǔn)線上，得         

故，    從而                           

所以橢圓方程為                           

（2）以O(shè)M為直徑的圓的方程為

即                                

其圓心為,半徑                              

因?yàn)橐設(shè)M為直徑的圓被直線截得的弦長(zhǎng)為2

所以圓心到直線的距離            

所以，解得

所求圓的方程為                        

（3）方法一：由平幾知：

直線OM：，直線FN：               

由得

所以線段ON的長(zhǎng)為定值。                       

方法二、設(shè)，則 

             

又

所以，為定值

【解析】略

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•威海二模）已知焦點(diǎn)在x軸的橢圓方程為
x2
3
+
y2
b2
=1，過(guò)橢圓長(zhǎng)軸的兩頂點(diǎn)做圓x2+y2=b2的切線，若切線圍成的四邊形的面積為2
3
，則橢圓的離心率為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知焦點(diǎn)在x軸上橢圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)分別為A，B，O為橢圓的中心，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，且
AF
•
BF
=-1，離心率e=
2
2
．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）記橢圓的上頂點(diǎn)為M，直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在直線l，使點(diǎn)F恰好為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知焦點(diǎn)在x軸上橢圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)分別為A，B，O為橢圓的中心，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，且數(shù)學(xué)公式，離心率e=數(shù)學(xué)公式．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）記橢圓的上頂點(diǎn)為M，直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在直線l，使點(diǎn)F恰好為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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