Question

判斷f(x)=

x

1+x

（x∈[0，3]）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：由已知中f(x)=

x

1+x

，我們?nèi)稳�x₁，x₂∈[0，3]，且x₁＜x₂，然后構(gòu)造f（x₂）-f（x₁），并根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)，判斷其符號(hào)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，得到結(jié)論．

解答：解：f(x)=1+

-1

x+1

在[0，3]上遞增，（2分）
理由如下：
任取x₁，x₂∈[0，3]，且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=1+

-1

x2+1

-(1+

-1

x1+1

)=

x2-x1

(x2+1)(x1+1)

，（6分）
∵x₂+1＞0，x₁+1＞0，（8分）
又∵x₂-x₁＞0，
∴f （x₂）-f （x₁）=

x2-x1

(x2+1)(x1+1)

＞0，（9分）
∴f （x） 在[0，3]上遞增．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，熟練掌握作差法（定義法）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟，是解答本題的關(guān)鍵．