Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

（2）是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)和正整數(shù),使得函數(shù)在上恰有2019個(gè)零點(diǎn)若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的和的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析

【解析】

（1）化簡(jiǎn)得:,則當(dāng)時(shí),, 要使對(duì)任意恒成立,令,則,對(duì)任意恒成立,即可求得答案.

（2）若同時(shí)存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)滿(mǎn)足條件,函數(shù)在上恰有2019個(gè)零點(diǎn),即函數(shù)與直線(xiàn)在上恰有2019個(gè)交點(diǎn),對(duì)進(jìn)行討論,即可求得答案.

（1）化簡(jiǎn):

當(dāng)時(shí),,

,則

要使對(duì)任意恒成立,

令,則,對(duì)任意恒成立,

只需

解得,

實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（2）假設(shè)同時(shí)存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)滿(mǎn)足條件,函數(shù)在上恰有2019個(gè)零點(diǎn),即函數(shù)與直線(xiàn)在上恰有2019個(gè)交點(diǎn)

當(dāng)時(shí),,

①當(dāng)或時(shí),函數(shù)與直線(xiàn)在上無(wú)交點(diǎn),

②當(dāng)或時(shí),函數(shù)與直線(xiàn)在上僅有一個(gè)交點(diǎn),

此時(shí)要使函數(shù)與直線(xiàn)在上恰有2019個(gè)交點(diǎn),則;

③當(dāng)或時(shí),函數(shù)與直線(xiàn)在上有兩個(gè)交點(diǎn),

此時(shí)函數(shù)與直線(xiàn)在上有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn),不可能有2019個(gè)交點(diǎn),不符合;

④當(dāng)時(shí),函數(shù)與直線(xiàn)在上有2個(gè)交點(diǎn),

此時(shí)要使函數(shù)與直線(xiàn)在上恰有2019個(gè)交點(diǎn),則;

綜上所述,存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)滿(mǎn)足條件:

當(dāng)時(shí),;

當(dāng)時(shí),;

當(dāng)時(shí),.