定義在（0，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)f（x）滿足：f（x）的導(dǎo)函數(shù)存在，且
f(x)
f′(x)
＜x，則下列不等式成立的是（　�。�
分析：由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)得到f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，則
f(x)
f′(x)
＜x變形為xf′（x）-（x）＞0，由此想到構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=
f(x)
x
，利用導(dǎo)數(shù)分析出該函數(shù)的單調(diào)性，從而得到要選擇的結(jié)論．
解答：解：f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，故f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
所以
f(x)
f′(x)
＜x可化成xf′（x）-（x）＞0
設(shè)g（x）=
f(x)
x
，
得到g′(x)=
xf′(x)-f(x)
x2
＞0．
所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
故g（3）＞g（2），即
f(3)
3
＞
f(2)
2
．
即2f（3）＞3f（2）．
故選D．
點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解答的關(guān)鍵在于正確構(gòu)造函數(shù)g（x）=
f(x)
x
并能熟練掌握商的求導(dǎo)法則，是中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在（0，1）上的函數(shù)f（x），對任意的m，n∈（1，+∞）且m＜n時，都有f(
1
n
)-f(
1
m
)=f(
m-n
1-mn
)記an=f(
1
n2+5n+5
)，n∈N*，則在數(shù)列{an}中，a1+a2+…a8=（　�。�
A、f(
1
2
)
B、f(
1
3
)
C、f(
1
4
)
D、f(
1
5
)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在（0，1）上的函數(shù)，且滿足：①對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②對任意x1，x2∈（0，1），恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2，則下面關(guān)于函數(shù)f（x）判斷正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•順義區(qū)二模）已知定義在區(qū)間[0，
3π
2
]上的函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=
3π
4
對稱，當x≥
3π
4
時，f（x）=cosx，如果關(guān)于x的方程f（x）=a有解，記所有解的和為S，則S不可能為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

填空題
（1）已知
cos2x
sin(x+
π
4
)
=
4
3
，則sin2x的值為
1
9
1
9
．
（2）已知定義在區(qū)間[0，
3π
2
]上的函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=
3π
4
對稱，當x≥
3π
4
時，f（x）=cosx，如果關(guān)于x的方程f（x）=a有四個不同的解，則實數(shù)a的取值范圍為
(-1，-
2
2
)
(-1，-
2
2
)
．

（3）設(shè)向量
a
，
b
，
c
滿足
a
+
b
+
c
=
0
，(
a
-
b
)⊥
c
，
a
⊥
b
，若|
a
|=1，則|
a
|2+|
b
|2+|
c
|2的值是
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•湖州二模）定義在（0，
π
2
）上的函數(shù)f（x），f′（x）是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，則（　　）

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