Question

9．若實數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，點P（-3，2）在動直線ax+by+c=0上的射影為H，點Q（3，3），則線段QH的最大值為$5+2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由a，b，c成等差數(shù)列，得出直線ax+by+c=0過定點；再根據(jù)點P在直線ax+by+c=0上的射影得出∠PHA=90°，
即H在以PA為直徑的圓上，畫出圖形，結合圖形求出線段QH的最大值．

解答 解：∵a，b，c成等差數(shù)列，
∴2b=a+c，即a-2b+c=0，
∴直線ax+by+c=0恒過A（1，-2）；
又點P（-3，2）在動直線ax+by+c=0上的射影為H，
∴∠PHA=90°，
∴H在以PA為直徑的圓上，如圖所示；
且此圓的圓心B的坐標為（$\frac{-3+1}{2}$，$\frac{2-2}{2}$），即B（-1，0），
半徑r=$\frac{1}{2}$|PA|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{（1+3）}^{2}{+（-2-2）}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
又Q（3，3），
∴|BQ|=$\sqrt{{（3+1）}^{2}{+3}^{2}}$=5，
∴|QH|_max=5+2$\sqrt{2}$，即線段QH的最大值為5+2$\sqrt{2}$．
故答案為：5+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)與直線直線和圓的應用問題，解題時利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到直線過定點是突破點，是綜合性題目．