Question

已知函數(shù)f（x）=2lnx+x²，若f（x²-1）≤1，則實數(shù)x的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：對數(shù)的運算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由f（x）=2lnx+x²，x＞0，利用導數(shù)性質(zhì)求出f（x）是增函數(shù)，f（t）=2lnt+t²，t=x²-1，由f（t）≤1，得0＜t≤1，所以0＜x²-1≤1，由此能求出實數(shù)x的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=2lnx+x²，
∴x＞0，f′(x)=2x+

2

x

=2•

x2+1

x

＞0，
∴f（x）是增函數(shù)，
f（t）=2lnt+t²，t=x²-1，
令2lnt+t²=1，t=1，
∴f（t）≤1，∵f（t）是增函數(shù)，
∴0＜t≤1，
∴0＜x²-1≤1，∴1＜x²≤2，
解得-

2

≤x＜-1或1＜x≤

2

．
∴實數(shù)x的取值范圍是[-

2

，-1）∪（1，

2

]．
故答案為：[-

2

，-1）∪（1，

2

]．

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，導數(shù)性質(zhì)的靈活運用．