Question

設函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0）
（Ⅰ）若a=1時函數(shù)f（x）有三個互不相同的零點，求m的范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[-1，1]內(nèi)沒有極值點，求a的范圍；
（Ⅲ）若對任意的a∈{3，6}，不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）運用分離參數(shù)，得到m=-x³-x²+x有三個互不相同的實數(shù)根．令g（x）=-x³-x²+x，求出極值，只要m介于極大和極小之間即可；
（Ⅱ）原問題等價為方程f′（x）=3x²+2ax-a²=0在[-1，1]上沒有實數(shù)根，運用二次方程實根分布的知識，即可得到；
（Ⅲ）原問題轉化為對任意的a∈{3，6}，不等式f（x）_max≤1在x∈[-2，2]上成立，運用導數(shù)求出f（x）在[-2，2]上的最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）當a=1時f（x）=x³+x²-x+m，
∵f（x）有三個互不相同的零點，所以f（x）=x³+x²-x+m，
即m=-x³-x²+x有三個互不相同的實數(shù)根．
令g（x）=-x³-x²+x，則g′（x）=-3x²-2x+1=（x+1）（-3x+1）．
∵g（x）在（-∞，-1）和（

1

3

，+∞）均為減函數(shù)，在（-1，

1

3

）為增函數(shù)，
則g（-1）為極小值且為-1，g（

1

3

）為極大且為

5

27

．
∴m的取值范圍（-1，

5

27

）；
（Ⅱ）由題可知，函數(shù)f（x）在[-1，1]內(nèi)沒有極值點等價為
方程f′（x）=3x²+2ax-a²=0在[-1，1]上沒有實數(shù)根，
∵

f′(1)=3+2a-a2≤0 f′(-1)=3-2a-a2≤0 a＞0

，∴a≥3；
（Ⅲ）∵f′（x）=3x²+2ax-a²=3（x-

a

3

）（x+a），且a＞0，
∴函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為（-a，

a

3

），遞增區(qū)間為（-∞，-a）和（

a

3

，+∞）；
當a∈[3，6]時，

a

3

∈[1，2]，-a≤-3，又x∈[-2，2]，
∴f（x）_max=max{f（-2），f（2）}而f（2）-f（-2）=16-4a²＜0，
∴f（x）_max=f（-2）=-8+4a+2a²+m，
又∵f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，
∴f（x）_max≤1，即-8+4a+2a²+m≤1即m≤9-4a-2a²在a∈[3，6]恒成立．
∵9-4a-2a²的最小值為-87，
∴m≤-87．

點評：本題考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用：求單調區(qū)間、求最值，考查二次方程實根的分布，以及不等式恒成立問題，轉化為求最值問題，屬于中檔題．