Question

18．已知正四面體棱長為a，求正四面體內切球體積．

Answer 1

分析 作出正四面體的圖形，確定球的球心位置為O，說明OE是內切球的半徑，運用勾股定理計算，即可得到球的體積．

解答 解：如圖O為正四面體ABCD的內切球的球心，
正四面體的棱長為a，OE為內切球的半徑，設OA=OB=R，
在等邊三角形BCD中，BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
AE=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{1}{3}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a．
由OB²=OE²+BE²，即有R²=（$\frac{\sqrt{6}}{3}$a-R）²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$a）²，
解得，R=$\frac{\sqrt{6}}{4}$a．OE=AE-R=$\frac{\sqrt{6}}{12}$a，
則其內切球的半徑是$\frac{\sqrt{6}}{12}$a，
內切球的體積為$\frac{4}{3}$π×（$\frac{\sqrt{6}}{12}$a）³=$\frac{\sqrt{6}}{216}π{a}^{3}$．

點評 本題考查正四面體的內切球半徑的求法，內切球的半徑是正四面體的高的$\frac{1}{4}$，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．