Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)， ，動(dòng)點(diǎn)滿足，線段的中垂線交線段于點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡相交于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，直線的斜率分別為，問(wèn)是否為定值？并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）利用橢圓定義求出點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）討論直線的斜率，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程得，利用根與系數(shù)關(guān)系表示，即可得到定值.

試題解析：

（Ⅰ）以題意可得： ,，

所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，

且

所以，

所以軌跡的方程為.

（Ⅱ）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由，解得，

設(shè)， .

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

將代入整理化簡(jiǎn)，得，

依題意，直線與軌跡必相交于兩點(diǎn)，設(shè)，

則， ，

又， ，

所以

綜上得： 為定值2.（說(shuō)明：若假設(shè)直線為，按相應(yīng)步驟給分）