Question

已知f（x）的定義域為R，且當x，y∈R時，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值．
（2）證明：f（x）是奇函數．
（3）如果x＞0時，f（x）＜0，且f（1）=-，試求使f（x²-2ax-1）≤1對x∈[2，4]恒成立的實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵對任意實數x，y有f（x+y）=f（x）+f（y）．
∴令x=y=0得：f（0）=2f（0），得f（0）=0．
（2）∵f（x）的定義域為R，∴f（x）的定義域關于原點對稱．
又令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x）是奇函數．
（3）設x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＜0，∴f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x）是R上的減函數．
∵f（1）=-，∴，
∴f（-2）=2f（-1）=1，
∴不等式f（x²-2ax-1）≤1即是f（x²-2ax-1）≤f（-2），
∴x²-2ax-1≥-2即x²-2ax+1≥0對x∈[2，4]恒成立．
即對x∈[2，4]恒成立．
令，
則=在x∈[2，4]上恒成立，
因此g（x）在x∈[2，4]上單調遞增，
∴．
∴．
分析：（1）利用對任意實數x，y有f（x+y）=f（x）+f（y）．令x=y=0即可得到：f（0）．
（2）由于f（x）的定義域為R，可知f（x）的定義域關于原點對稱．又令y=-x，即可得到是奇函數．
（3）設x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，可得f（x₂-x₁）＜0，f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0，得到f（x）在R上的單調性．利用f（1）=-，可得，進而得到f（-2）=1，于是不等式f（x²-2ax-1）≤1即f（x²-2ax-1）≤f（-2），可得x²-2ax-1≥-2即x²-2ax+1≥0對x∈[2，4]恒成立．即對x∈[2，4]恒成立．利用導數即可得出．
點評：正確理解抽象函數的意義、奇函數的判斷方法、問題的等價轉化、利用導數研究函數的單調性、極值與最值等是解題的關鍵．