Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)b_n=（2n-1）•a_n（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a_n+1=3a_n，n≥2，a₂=2S₁=2a₁=2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由b_n=（2n-1）•a_n，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： （1）解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n（n∈N^*），
∴a_n=2S_n-1，n≥2，
a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，n≥2，
∴a_n+1=3a_n，n≥2，
∵a₂=2S₁=2a₁=2，
∴a_n=

1，n=1 2×3n-2，n≥2

．
（2）解：b_n=（2n-1）•a_n（n∈N^*）Tn=1×1+3×2+5×2×31+7×2×32+…+(2n-3)×2×3n-3+(2n-1)×2×3n-2（1）
3Tn=1×3+3×2×3+5×2×32+7×2×33+…+(2n-3)×2×3n-2+(2n-1)×2×3n-1（2）
（1）-（2），得：
-2Tn=4+4(31+32+…+3n-2)-2(2n-1)×3n-1，-2Tn=4+4×

3(1-3n-2)

1-3

-2(2n-1)×3n-1⇒Tn=1+(2n-2)×3n-1．
∴T_n=1+（2n-2）×3^n-1．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．