Question

國家助學(xué)貸款是由財(cái)政貼息的信用貸款，旨在幫助高校家庭經(jīng)濟(jì)困難的學(xué)生支付在校學(xué)習(xí)期間所需的學(xué)費(fèi)、住宿費(fèi)及生活費(fèi)，每一年度申請(qǐng)總額不超過6000元．某大學(xué)2013屆畢業(yè)生王昌在本科上學(xué)期間共申請(qǐng)了24000元助學(xué)貸款，并承諾在畢業(yè)后3年內(nèi)（按36個(gè)月計(jì)）全部還清．工作后，王昌計(jì)劃前12個(gè)月每個(gè)月還款500元，第13個(gè)月開始，每月還款比上一個(gè)月多x元．
（1）用x和n表示王昌第n個(gè)月的還款額a_n；
（2）當(dāng)x=40時(shí)，王昌將在第幾個(gè)月還清貸款？

Answer 1

分析：（1）依題意，王昌前12個(gè)月每個(gè)月的還款額為500元，第13個(gè)月開始，逐月的還款額構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為500+x，公差為x的等差數(shù)列，進(jìn)而可用分段函數(shù)表示出王昌第n個(gè)月的還款額a_n；
（2）設(shè)王昌第n個(gè)月還清貸款，結(jié)合（1）中結(jié)論，構(gòu)造關(guān)于n的不等式組，解不等式可得結(jié)論．

解答：解：（1）依題意，王昌前12個(gè)月每個(gè)月的還款額為500元，
則an=500(1≤n≤12，n∈N*)，…（2分）
第13個(gè)月開始，逐月的還款額構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為500+x，公差為x的等差數(shù)列，
則a_n=500+x+（n-13）x=500+（n-12）x，（13≤n≤36，n∈N^*）．
所以

an= 500，(1≤n≤12，n∈N*) 500+(n-12)x，(13≤n≤36，n∈N*)

．…（6分）
（2）設(shè)王昌第n個(gè)月還清貸款，
∵12×500＜24000，
∴n≥13，…（7分）
則應(yīng)有12×500+(500+40)×(n-12)+

(n-12)(n-12-1)

2

×40≥24000，…（10分）
整理得n²+2n-1068≥0，…（11分）
解之得n≥-1+

1069

，或n≤-1-

1069

（舍去）
由于31＜-1+

1069

＜32，所以n=32≤36．
即王昌將在第32個(gè)月還清貸款．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列的函數(shù)特征，是數(shù)列，函數(shù)，不等式的綜合應(yīng)用，難度在大，但運(yùn)算量不小，屬于中檔題．