Question

3．過雙曲線16x²-9y²=144的-個(gè)焦點(diǎn)作-條漸近線的平行線，與雙曲線交于一點(diǎn)P．點(diǎn)P與雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積為$\frac{32}{5}$．

Answer 1

分析 求得雙曲線的a，b，c，設(shè)出一條漸近線方程和一個(gè)焦點(diǎn)，得到平行線方程，代入雙曲線方程，可得交點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由三角形的面積公式計(jì)算可得所求．

解答 解：雙曲線16x²-9y²=144即為：
$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，則a=3，b=4，c=5．
設(shè)焦點(diǎn)為（5，0），一條漸近線為y=$\frac{4}{3}$x，
即有與漸近線平行的直線為y=$\frac{4}{3}$（x-5），
代入雙曲線方程16x²-9y²=144，可得：
x²-（x-5）²=9，
解得x=$\frac{17}{5}$，y=-$\frac{32}{15}$．
即P（$\frac{17}{5}$，-$\frac{32}{15}$），
則點(diǎn)P與雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，
所構(gòu)成的三角形的面積為$\frac{1}{2}$•2a•$\frac{32}{15}$=$\frac{32}{5}$．
故答案為：$\frac{32}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，解方程求交點(diǎn)，考查三角形的面積公式的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．