Question

為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊(duì)在某冰川山上相距8Km的A、B兩點(diǎn)各建一個(gè)考察基地，視冰川面為平面形，以過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖）．考察范圍到A、B兩點(diǎn)的距離之和不超過(guò)10Km的區(qū)域．
（1）求考察區(qū)域邊界曲線的方程：
（2）如圖所示，設(shè)線段P₁P₂（3）是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當(dāng)冰川融化時(shí)，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動(dòng)，第一年移動(dòng)0.2km，以后每年移動(dòng)的距離為前一年的2倍．問(wèn)：經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，點(diǎn)A恰好在冰川邊界線上？

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)邊界曲線上點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由|PA|+|PB|=10知，點(diǎn)P在以A、B為焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=10的橢圓上．由此可知考察區(qū)域邊界曲線的方程為．
（2）由題意知過(guò)點(diǎn)P₁，P₂的直線方程為4x-3y+47=0．因此點(diǎn)A到直線P₁P₂的距離為，設(shè)經(jīng)過(guò)n年，點(diǎn)A恰好在冰川邊界上，則利用等比數(shù)列求和公式可得，由此可知經(jīng)過(guò)5年，點(diǎn)A恰好在冰川邊界上．
解答：解：（1）設(shè)邊界曲線上點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
由|PA|+|PB|=10知，點(diǎn)P在以A、B為焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=10的橢圓上．
此時(shí)，
∴考察區(qū)域邊界曲線的方程為．
（2）由題意知過(guò)點(diǎn)P₁，P₂的直線方程為4x-3y+47=0．
因此點(diǎn)A到直線P₁P₂的距離為，
設(shè)經(jīng)過(guò)n年，點(diǎn)A恰好在冰川邊界上，
則利用等比數(shù)列求和公式可得，
解得n=5，
即經(jīng)過(guò)5年，點(diǎn)A恰好在冰川邊界上．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)和等比數(shù)列的知識(shí)，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．