Question

【題目】已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且滿足a3a4=117，a2+a5=22．
（1）求通項(xiàng)an；
（2）若數(shù)列{bn}滿足bn= ，是否存在非零實(shí)數(shù)c使得{bn}為等差數(shù)列？若存在，求出c的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a3+a4=a2+a5=22，

又∵a3a4=117，∴a3、a4是方程x2﹣22x+117=0的解，

結(jié)合公差大于零，解得a3=9，a4=13，

∴公差d=a4﹣a3=13﹣9=4，首項(xiàng)a1=a3﹣2d=1．

因此，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1+（n﹣1）d=1+4（n﹣1）=4n﹣3

（2）解：由（1）知：Sn= =2n2﹣n，

所以bn= = ．

故b1= ，b2= ，b3= ．

令2b2=b1+b3，即 = + ，化簡得2c2+c=0．

因?yàn)閏≠0，故c=﹣ ，此時(shí)bn= =2n．

當(dāng)n≥2時(shí)，bn﹣bn﹣1=2n﹣2（n﹣1）=2，符合等差數(shù)列的定義

∴c=﹣ 時(shí)，bn=2n．（n∈N+）

由此可得，當(dāng)c=﹣ 時(shí)，{bn}成以2為首項(xiàng)、公差為2的等差數(shù)列

【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得出a3、a4是方程x2﹣22x+117=0的解，解此方程得a3=9且a4=13，再求出{an}的首項(xiàng)和公差，即可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)論，化簡得bn= ．分別令n=1、2、3，得到{bn}的前3項(xiàng)，由2b2=b1+b3解出c=﹣ ，再將c=﹣ 回代加以檢驗(yàn)，即可得到當(dāng)c=﹣ 時(shí)，{bn}成以2為首項(xiàng)、公差為2的等差數(shù)列．
【考點(diǎn)精析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和等差關(guān)系的確定對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知前n項(xiàng)和公式：；如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．