已知函數(shù)f(x)滿足下列條件:(1)函數(shù)f(x)定義域為[0,1];(2)對于任意x∈[0,1],f(x)≥0,且f(0)=0,f(1)=1;(3)對于滿足條件x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1的任意兩個數(shù)x1,x2,有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
(Ⅰ)證明:對于任意的0≤x≤y≤1,有f(x)≤f(y);
(Ⅱ)證明:對于任意的0≤x≤1,有f(x)≤2x;
(Ⅲ)不等式f(x)≤1.9x對于一切x∈[0,1]都成立嗎?
分析:(Ⅰ)欲證對于任意的0≤x≤y≤1,有f(x)≤f(y),將y寫成y-x+x,利用f(x
1+x
2)≥f(x
1)+f(x
2)進行放縮即得.
(Ⅱ)欲證明:對于任意的0≤x≤1,有f(x)≤2x,利用反證法,先假設存在x
0∈(0,1],使得f(x
0)>2x
0,通過推出矛盾,從而得出假設不成立而得證;
(Ⅲ)先取函數(shù)
f(x)=驗證此函數(shù)符合題目中的(1),(2),(3)兩個條件,但是f(0.51)=1>1.9×0.51=0.969.從而不等式f(x)≤1.9x并不對所有x∈[0,1]都成立.
解答:解:(Ⅰ)證明:對于任意的0≤x≤y≤1,
則0≤y-x≤1,∴f(y-x)≥0.
∴f(y)=f(y-x+x)≥f(y-x)+f(x)≥f(x).
∴對于任意的0≤x≤y≤1,有f(x)≤f(y).(5分)
(Ⅱ)由已知條件可得f(2x)≥f(x)+f(x)=2f(x),
∴當x=0時,f(0)=0≤2×0,
∴當x=0時,f(x)≤2x.
假設存在x
0∈(0,1],使得f(x
0)>2x
0,
則x
0一定在某個區(qū)間
x0∈(,]上.
設
x0∈(,],
則f(2x
0)>4x
0,f(4x
0)>8x
0,┅,f(2
k-1x
0)>2
kx
0.
由
x0∈(,];
可知
<2k-1x0≤1,且2
kx
0>1,
∴f(2
k-1x
0)≤f(1)=1,
又f(2
k-1x
0)>2
kx
0>1.
從而得到矛盾,因此不存在x
0∈(0,1],使得f(x
0)>2x
0.
∴對于任意的0≤x≤1,有f(x)≤2x.(10分)
(Ⅲ)取函數(shù)
f(x)=則f(x)顯然滿足題目中的(1),(2)兩個條件.
任意取兩個數(shù)x
1,x
2,使得x
1≥0,x
2≥0,x
1+x
2≤1,
若
x1, x2∈[0,],
則f(x
1+x
2)≥0=f(x
1)+f(x
2).
若x
1,x
2分別屬于區(qū)間
[0,]和
(,1]中一個,
則f(x
1+x
2)=1=f(x
1)+f(x
2),
而x
1,x
2不可能都屬于
(,1].
綜上可知,f(x)滿足題目中的三個條件.
而f(0.51)=1>1.9×0.51=0.969.
即不等式f(x)≤1.9x并不對所有x∈[0,1]都成立.(14分)
點評:本題主要考查了抽象函數(shù)及其應用,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中檔題.