Question

先閱讀下列①、②兩個(gè)問(wèn)題，再解決后面的（Ⅰ）、（Ⅱ）兩個(gè)小題：
①已知a₁，a₂∈R，且a₁+a₂=1，求證：a₁²+₂²≥

1

2

．
證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²，則f（x）=2x²-2（a₁+a₂）x+a₁²+a₂²=2x²-2x+a₁²+a₂²，因?yàn)閷?duì)一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4-8（a₁²+a₂²）≤0，從而得a₁²+a₂²≥

1

2

．
②同理可證若a₁，a₂，a₃∈R，且a₁+a₂+a₃=1，則a₁²+a₂²+a₃²≥

1

3

．
（Ⅰ）若a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，請(qǐng)寫(xiě)出上述結(jié)論的推廣式；
（Ⅱ）參考上述證法，對(duì)你推廣的結(jié)論加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,歸納推理

專(zhuān)題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知中已知a₁，a₂∈R，a₁+a₂=1，求證a₁²+a₂²≥

1

2

，及整個(gè)式子的證明過(guò)程，我們根據(jù)歸納推理可以得到一個(gè)一般性的公式，若a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，則a₁²+a₂²+…+a_n²≥

1

n

；
（Ⅱ）但此公式是由歸納推理得到的，其正確性還沒(méi)有得到驗(yàn)證，觀察已知中的證明過(guò)程，我們可以類(lèi)比對(duì)此公式進(jìn)行證明．

解答： 解：（Ⅰ）若a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，求證：a₁²+a₂²+…+a_n²≥

1

n

------------------（5分）
（Ⅱ）證明：構(gòu)造函數(shù)
f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²+…+（x-a_n）²
=nx²-2（a₁+a₂+…+a_n）x+a₁²+a₂²+…+a_n²
=nx²-2x+a₁²+a₂²+…+a_n²
因?yàn)閷?duì)一切x∈R，都有f（x）≥0，所以△=4-4n（a₁²+a₂²+…+a_n²）≤0
從而證得：a₁²+a₂²+…+a_n²≥

1

n

（13分）

點(diǎn)評(píng)：歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）；（3）對(duì)歸納得到的一般性結(jié)論進(jìn)行證明．