Question

14．點(diǎn)P（-1，0）在動(dòng)直線2ax+（a+c） y+2c=0（a∈R，c∈R）上射影為M，則點(diǎn)M到直線 x-y=5的距離的最大值是3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 變形直線方程由直線系可得定點(diǎn)A，可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為以AP為直徑的圓上，數(shù)形結(jié)合可得．

解答 解：由2ax+（a+c）y+2c=0，得a（2x+y）+c（y+2）=0，
聯(lián)立2x+y=0和y+2=0可得x=1且y=-2，
∴動(dòng)直線恒過定A點(diǎn)（1，-2），
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為以AP為直徑的圓B：x²+（y+1）²=2，
∴點(diǎn)M到直線 x-y=5的距離的最大值為圓心（0，-1）
到直線x-y=5的距離加上圓B的半徑$\sqrt{2}$，
計(jì)算可得$\frac{|0-（-1）-5|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$+$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$
故答案為：3$\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查過直線交點(diǎn)的直線系方程，涉及點(diǎn)到直線的距離公式和圓的方程，屬中檔題．