Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x（e^x-1）-ax²，a∈R，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）若a=

1

2

，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）a=

1

2

時(shí)，f(x)=x(ex-1)-

1

2

x2，
f′（x）=e^x-1+xe^x-x=（e^x-1）（（x+1）．
令f'（x）＞0，得x＜-1或x＞0，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（0，+∞）．
（2）f（x）=x（e^x-1-ax）
令g（x）=e^x-1-ax，則g′（x）=e^x-a．
若a≤1，則當(dāng)（0，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
而g（x）=0，從而當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）≥0，即f（x）≥0．
若a＞1，則當(dāng)x∈（0，lna）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
而g（x）=0，從而當(dāng)x∈（0，lna）時(shí)，g（x）＜0，即f（x）＜0．
所以不合題意，舍去．
綜合得a的取值范圍為（-∞，1]．