Question

給定實數(shù)a，b，c．已知復數(shù)z₁、z₂、z₃滿足求|az₁+bz₂+cz₃|的值．

Answer 1

【答案】分析：注意到條件（1），不難想到用復數(shù)的三角形式；注意到條件（2），可聯(lián)想使用復數(shù)為實數(shù)的充要條件進行求解．
解答：解：法一由|z₁|=|z₂|=|z₃|=1，可設(shè)=cosθ+isinθ，=cosφ+isinφ，
則==cos（θ+φ）-isin（θ+φ）．因=1，其虛部為0，
故0=sinθ+sinφ-sin（θ+φ）=2sincos-2sincos
=2sin（cos-cos）=4sinsinsin．
故θ=2kπ或φ=2kπ或θ+φ=2kπ，k∈Z．因而z₁=z₂或z₂=z₃或z₃=z₁．
若z₁=z₂，代入（2）得=±i，此時
|az₁+bz₂+cz₃|=|z₁|?|a+b±ci|=．
類似地，如果z₂=z₃，則|az₁+bz₂+cz₃|=；
如果z₃=z₁，則|az₁+bz₂+cz₃|=．
解法二由（2）知∈R，
故=，
即=．
由（1）得z_k=（k=1，2，3），代入上式，
得=，
即z₁²z₃+z₂²z₁+z₃²z₂=z₂²z₃+z₃²z₁+z₁²z₂，
分解因式，得（z₁-z₂）（z₂-z₃）（z₃-z₁）=0，
于是z₁=z₂或z₂=z₃或z₃=z₁．下同解法一．
點評：①解題關(guān)鍵點是巧妙利用復數(shù)為實數(shù)的充要條件：z∈R?z=，以及視，等為整體，從而簡化了運算．
②解題易錯點是拿到問題不加分析地就盲目動筆，而不注意充分觀察題目的已知條件，結(jié)論特征等，從而使問題的求解或是變得異常的復雜，或干脆就無法解出最終的結(jié)果．