Question

已知M是y=x²上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線焦點(diǎn)，A在C：（x-1）²+（y-4）²=1上，則|MA|+|MF|的最小值

1. A.
   2
2. B.
   4
3. C.
   8
4. D.
   10

Answer 1

B
分析：將拋物線化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求得其準(zhǔn)線為l：y=-1，過點(diǎn)M作MN⊥l于N，由拋物線定義得|MN|=|MF|，問題轉(zhuǎn)化為求|MA|+|MN|的最小值，而A在圓C上運(yùn)動(dòng)，因此可得到當(dāng)N、M、C三點(diǎn)共線時(shí)，|MA|+|MN|有最小值，進(jìn)而求得|MA|+|MF|的最小值．
解答：∵拋物線y=x²化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=4y，
∴拋物線的準(zhǔn)線為l：y=-1
過點(diǎn)M作MN⊥l于N，
∵|MN|=|MF|，∴|MA|+|MF|=|MA|+|MN|
∵A在圓C：（x-1）²+（y-4）²=1上運(yùn)動(dòng)，
圓心為C（1，4）且半徑r=1
∴當(dāng)N，M，C三點(diǎn)共線時(shí)，|MA|+|MF|最小
∴（|MA|+|MF|）_min=（|MA|+|MN|）_min=|CN₀|-r=5-1=4
即|MA|+|MF|的最小值為4
故選：B
點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線張口以內(nèi)的一個(gè)圓，求拋物線上動(dòng)點(diǎn)M到圓上動(dòng)點(diǎn)A的距離與A到焦點(diǎn)F距離之和的最小值，著重考查了求與圓有關(guān)的距離的最值、拋物線的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．