Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{-x}+1，x≤0}\\{f（x-1），x＞0}\end{array}\right.$
（1）作出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）討論方程f（x）=a的根的情況；
（3）若方程f（x）=$\frac{-1}{x+2}+a$有兩個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）作出f（x）的圖象，當(dāng)x≤0時(shí)，y=-2^-x+1=-（$\frac{1}{2}$）^x+1，可由y=（$\frac{1}{2}$）^x的圖象作關(guān)于x軸的對(duì)稱圖象，再向上平移一個(gè)單位得到，
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象和y=a的圖象，即可得到根的情況．
（3）分別作出y=f（x）和y=$\frac{-1}{x+2}+a$的圖象，由圖象可知a的范圍．

解答 解：（1）其圖象為：

（2）由圖象可知，
當(dāng)-1＜a≤0時(shí)，方程f（x）=a有無(wú)數(shù)個(gè)根，
當(dāng)a≤-1時(shí)，方程f（x）=a有1個(gè)根，
當(dāng)a＞0時(shí)，方程f（x）=a無(wú)實(shí)數(shù)根．
（3）方程f（x）=$\frac{-1}{x+2}+a$有兩個(gè)實(shí)根，
分別作出y=f（x）和y=$\frac{-1}{x+2}+a$的圖象，如圖所示：

當(dāng)y=$\frac{-1}{x+2}+a$通過(guò)點(diǎn)（0，0）時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，即a=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)y=$\frac{-1}{x+2}+a$通過(guò)點(diǎn)（1，0）時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)，即a=$\frac{1}{3}$，
綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍[$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)、方程的根等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，考查利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．