Question

不經(jīng)過原點O的直線l與圓x²+y²=1交于不同的兩點P、Q，若直線PQ的斜率是直線OP和直線OQ斜率的等比中項，則S_△POQ的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系

專題：綜合題,直線與圓

分析：設(shè)直線l的方程為y=kx+m代入圓的方程消去y得，（1+k²）x²+2kmx+m²-1=0，由此利用根的判別式、韋達定理、等比數(shù)列結(jié)合已知條件能求出k．直線OQ的斜率存在且不為0，及△＞0，得0＜m²＜2，且m≠1，求出點O到直線l的距離，由此能求出S_△OPQ的取值范圍．

解答： 解：由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線l的方程為y=kx+m（m≠0）
P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由y=kx+m，代入圓的方程消去y得，（1+k²）x²+2kmx+m²-1=0
則△=（2km）²-4（1+k²）×（m²-1）=4（k²-m²+1）＞0
且x₁+x₂=-

2km

1+k2

，x₁x₂=

m2-1

1+k2

故y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
因為直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，
所以

y1

x1

•

y2

x2

=k²，
所以1-k²=0
所以直線l的斜率k為±1
直線OQ的斜率存在且不為0，及△＞0
所以0＜m²＜2，且m≠1，
設(shè)d為點O到直線l的距離，
則S_△OPQ=

1

2

d|PQ|=

1

2

|m|

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

m2(2-m2)

≤

1

2

∴S_△OPQ的取值范圍為（0，

1

2

]．
故答案為：（0，

1

2

]．

點評：本題考查直線的斜率的求法，考查三角形面積的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意弦長公式的合理運用．