Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2alnx．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象在（2，f（2））處的切線斜率為1，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若函數(shù)在[1，2]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先對函數(shù)求導，然后由由已知f'（2）=1，可求a
（II）先求函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），要判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，需要判斷導數(shù)
的正負，分類討論：分（1）當a≥0時，（2）當a＜0時兩種情況分別求解
（II）由g（x）可求得g′（x），由已知函數(shù)g（x）為[1，2]上的單調(diào)減函數(shù)，可知g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立，要求a的范圍，只要求解，在[1，2]上的最小值即可
解答：解：（Ⅰ）…（1分）
由已知f'（2）=1，解得a=-3．…（3分）
（II）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．
（1）當a≥0時，f'（x）＞0，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；  …（5分）
（2）當a＜0時．
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下：

x
f'（x）	-		+
f（x）		極小值

由上表可知，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是；
單調(diào)遞增區(qū)間是．…（8分）
（III）由得，…（9分）
由已知函數(shù)g（x）為[1，2]上的單調(diào)減函數(shù)，
則g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，
即在[1，2]上恒成立．
即在[1，2]上恒成立．…（11分）
令，在[1，2]上，
所以h（x）在[1，2]為減函數(shù).，
所以．…（14分）
點評：本題主要考查了函數(shù)的導數(shù)的求解，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，體現(xiàn)了分類討論思想的應用，及函數(shù)的恒成立與函數(shù)的最值求解的相互轉(zhuǎn)化思想的應用．