Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求正數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為;（2）

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)，易知：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），對(duì)m進(jìn)行分類討論，得到函數(shù)的最小值，函數(shù)有唯一零點(diǎn)即函數(shù)的最小值為零.

試題解析：

解：（1）依題意，知，其定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)， ，

.

令，解得.

當(dāng) 時(shí)， .此時(shí)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí), ,此時(shí)單調(diào)遞減.

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）由題可知， .

令，即，

因?yàn)?/span>，所以 (舍去)， .

當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞增，

所以的最小值為.因?yàn)楹瘮?shù)有唯一零點(diǎn)，所以，

由即

可得，因?yàn)?/span>，所以，

設(shè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)該函數(shù)是增函數(shù)，

所以至多有一解.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)， ，

所以方程的解為，即，解得.