Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，函數(shù)有唯一零點，求正數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為;（2）

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)，易知：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），對m進行分類討論，得到函數(shù)的最小值，函數(shù)有唯一零點即函數(shù)的最小值為零.

試題解析：

解：（1）依題意，知，其定義域為，

當時， ，

.

令，解得.

當 時， .此時單調(diào)遞增；

當時, ,此時單調(diào)遞減.

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）由題可知， .

令，即，

因為，所以 (舍去)， .

當時， ， 在上單調(diào)遞減，

當時， ， 在上單調(diào)遞增，

所以的最小值為.因為函數(shù)有唯一零點，所以，

由即

可得，因為，所以，

設(shè)函數(shù)，因為當時該函數(shù)是增函數(shù)，

所以至多有一解.

因為當時， ，

所以方程的解為，即，解得.