設(shè)橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),其長軸長是短軸長的
2
倍,過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長為2
3

(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)過右焦點(diǎn)F2且與x軸不垂直的直線l交橢圓E于P,Q兩點(diǎn),在線段OF2(O為坐標(biāo)原點(diǎn))上是否存在點(diǎn)M(m,0),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.
考點(diǎn):橢圓的簡單性質(zhì)
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)由題意先求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo),再列出方程求出a、b的值,代入橢圓方程即可;
(2)先假設(shè)存在點(diǎn)M(m,0)(0<m<
6
)滿足條件,由點(diǎn)斜式設(shè)出直線l的方程,以及P、Q的坐標(biāo),將直線方程代入橢圓方程化簡后,利用韋達(dá)定理、菱形的等價條件、向量知識,可求出m的范圍,再進(jìn)行判斷.
解答: 解:(1)不妨設(shè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(c,0),
則過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(c,y0),
代入
x2
a2
+
y2
b2
=1可得,y0=±
b2
a
,
因?yàn)檫^焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長為2
3
,
所以
b2
a
=2
3
,
由題意得,a=
2
b,代入上式解得:a=2
3
、b=
6
,
故所求橢圓方程為
x2
12
+
y2
6
=1


(2)假設(shè)在線段OF2上存在點(diǎn)M(m,0)(0<m<
6
)滿足條件,
∵直線與x軸不垂直,
∴設(shè)直線l的方程為y=k(x-
6
)(k≠0)

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
x2
12
+
y2
6
=1
y=k(x-
6
)
,可得(1+2k2)x2-4
6
k2x+12k2-12=0

x1+x2=
4
6
k2
1+2k2
x1x2=
12k2-12
1+2k2

MP
=(x1-m,y1),
MQ
=(x2-m,y2)
PQ
=(x2-x1,y2-y1)
,其中x2-x1≠0,
∵以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形,
(
MP
+
MQ
)⊥
PQ
?(
MP
+
MQ
)•
PQ
=0

∴(x1+x2-2m)(x2-x1)+(y1+y2)(y2-y1)=0.
∴x1+x2-2m+k(y1+y2)=0.
4
6
k2
1+2k2
-2m+k2(
4
6
k2
1+2k2
-2
6
)=0

化簡得m=
6
k2
1+2k2
=
6
1
k2
+2
(k≠0),
m∈(0,
6
2
)

在線段OF2上存在點(diǎn)M(m,0)符合條件,且m∈(0,
6
2
)
點(diǎn)評:本題考查橢圓的方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,韋達(dá)定理的運(yùn)用,以及平面向量的知識,考查化簡、計算能力以及存在性的問題,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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A、A={x|x>0},B={y|y≥0},f:y=
1
x
B、A={x|x≥0},B={y|y>0},f:y=x2
C、A={x|x是三角形},B={y|y是圓},f:每一個三角形對應(yīng)它的內(nèi)切圓
D、A={x|x是圓},B={y|y是三角形},f:每一個圓對應(yīng)它的外切三角形

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已知M(x,y)為由不等式組
0≤x≤
2
y≤2
x≤
2
y
,所確定的平面區(qū)域上的動點(diǎn),若點(diǎn)A(
2
,1)
,則z=
OM
OA
的最大值為
 

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已知函數(shù)f(x)=[ln(a+x)]2+2ln(a+x)-2x,若x=0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),試證明:函數(shù)f(x)在(0,1)是減函數(shù).

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已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的一系列對應(yīng)值如表:
 x-
π
6
π
3
 
6
 
3
 
 
11π
6
3
 
17π
6
 
 
10π
3
 y-1  1-1  1
(1)根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)f(x)的一個解析式;
(2)根據(jù)(1)的結(jié)果,若函數(shù)y=f(kx)(k>0)的最小正周期為
3
,當(dāng)x∈[0,
π
3
]時,方程f(kx)=m恰有兩個不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=-x2+ax-b
(1)若a,b都是從0,1,2,3,4五個數(shù)中任取一個數(shù),求上述函數(shù)有零點(diǎn)的概率;
(2)若a,b都是從區(qū)間[0,4]上任取得一個數(shù),求f(1)>0得概率;
(3)設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程3ax+b2-b-f(x)=0,若a是從區(qū)間[0,3]內(nèi)任取得一個數(shù),b是從區(qū)間[0,2]內(nèi)任取一個數(shù),求上述方程有實(shí)數(shù)根的概率.

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