Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

1

4

x+

3

4x

-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=-x²+2bx-4，若對(duì)任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂） 恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=lnx-

1

4

x+

3

4x

-1的定義域是（0，+∞）．
f′（x）=

1

x

-

1

4

-

3

4x2

=

4x-x2-3

4x2

=

-(x-1)(x-3)

4x2

，
由x＞0及f′（x）＞0得1＜x＜3；由x＞0及f′（x）＜0得0＜x＜1或x＞3，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，3）；單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），（3，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，3）上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f(x)min=f(1)=-

1

2

，
對(duì)任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，
問題等價(jià)于-

1

2

≥g（x）對(duì)任意x∈[1，2]恒成立，即-

1

2

≥-x2+2bx-4恒成立．
不等式可變?yōu)閎≤

x2+ 7 2

2x

=

x

2

+

7

4x

，
因?yàn)閤∈[1，2]，所以

x

2

+

7

4x

≥2

x 2 × 7 4x

=

14

2

，當(dāng)且僅當(dāng)

x

2

=

7

4x

，即x=

14

2

時(shí)取等號(hào)．
所以b≤

14

2

，
故實(shí)數(shù)b的取值范圍是（-∞，

14

2

]．