Question

【題目】如圖所示，已知點，過點作直線、與圓：和拋物線：都相切.

（1）求拋物線的兩切線的方程；

（2）設(shè)拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線相交于、兩點，與拋物線的準(zhǔn)線交于點（其中點靠近點），且，求與的面積之比.

Answer 1

【答案】（1）；（2）面積比.

【解析】

（1）設(shè)過點的直線，利用直線與圓相切的性質(zhì)、結(jié)合點到直線的距離公式，最后求出切線方程；

（2）由（1）可知圓的切線與拋物線也相切，利用方程思想可以求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用拋物線的定義可以求出點坐標(biāo)，進(jìn)而可以求出、兩點坐標(biāo)，最后求出面積比即可.

（1）設(shè)過點的直線方程為：，圓：的圓心為，半徑為1，該直線與圓相切，所以有：

，因此圓的切線方程為，即兩條切線方程分別為：；

（2）由（1）可知：直線與相切，

所以方程的判別式為零，

即，所以拋物線的方程為：，準(zhǔn)線方程為：，設(shè)點坐標(biāo)為：，因為，所以由拋物線的定義可知：

，因此可得，而靠近點，所以點為，直線的方程為：，所以或，因此點坐標(biāo)為，直線與拋物線的準(zhǔn)線交于點，所以，點坐標(biāo)為，

與的面積之比為：，所以它們的面積比為：2:5.