Question

10．長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，BC=2，AA₁=3，點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，點(diǎn)P∈AC₁，Q∈MD，則|PQ|長度最小值為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA₁分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法，求出當(dāng)PQ為AC₁和MD的公垂線時(shí)PQ的坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)之間距離公式，可得答案．

解答 解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA₁分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AB=1，BC=2，AA₁=3，
∴A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），C₁（1，2，3），M（1，1，0），D（0，2，0）
則$\overrightarrow{{AC}_{1}}$=（1，2，3），$\overrightarrow{DM}$=（1，-1，0）
設(shè)$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{{AC}_{1}}$=（λ，2λ，3λ），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（λ，2λ，3λ），λ∈[0，1]，
設(shè)$\overrightarrow{DQ}$=μ$\overrightarrow{DM}$=（μ，-μ，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（μ，2-μ，0），μ∈[0，1]，
則$\overrightarrow{PQ}$=（u-λ，2-μ-2λ，-3λ），
由$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{{AC}_{1}}$且$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{DM}$得：$\left\{\begin{array}{l}u-λ+2（2-μ-2λ）+3（-3λ）=0\\ u-λ-（2-μ-2λ）=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}λ=\frac{2}{9}\\ μ=\frac{8}{9}\end{array}\right.$，
此時(shí)PQ_min=$\sqrt{{（λ-μ）}^{2}+{（2λ-2+μ）}^{2}+9{λ}^{2}}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
故答案為：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求線段PQ長度的最小值，考查向量法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度較大．